MRPatil Edublog: इ.१०वी_गणित भाग 1

दोन चलातील रेषीय समीकरणे - सविस्तर माहिती

दोन चलातील रेषीय समीकरणे (Linear Equations in Two Variables)

व्याख्या: ज्या समीकरणामध्ये दोन चले वापरली जातात आणि चल असलेल्या प्रत्येक पदाची कोटी (Degree) एक असते, त्या समीकरणाला 'दोन चलांतील रेषीय समीकरण' म्हणतात.

🔹 दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचे सामान्य रूप:

ax + by + c = 0

x आणि y ही चले (Variables) आहेत.
a, b, c या वास्तव संख्या (Real Numbers) आहेत.
a ≠ 0 आणि b ≠ 0 (म्हणजेच दोन्ही सहगुणक एकाच वेळी शून्य नसतात).

🔹 दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचे उदाहरण:

5m + 2n = 15

यहां m आणि n ही दोन चले आहेत.
m चा सहगुणक 5 आणि n चा सहगुणक 2 ह्या वास्तव संख्या आहेत.
स्थिर पद 15 ही सुद्धा वास्तव संख्या आहे.
m आणि n यांचे सहगुणक दोन्ही शून्य नाहीत.

🔹 दोन चलांतील रेषीय समीकरणाची ओळख:

खालील तक्त्यामध्ये दिलेल्या उदाहरणांवरून आपण रेषीय समीकरण ओळखण्याचा सराव करू शकता:

समीकरण	रेषीय समीकरण आहे की नाही?	कारण
1. 4m + 3n = 12	आहे. ✅	दोन चले आहेत आणि चलयुक्त प्रत्येक पदाची कोटी 1 आहे.
2. 3x² - 7y = 13	नाही. ❌	चलयुक्त पदाची कोटी 2 आहे (कोटी 1 असणे आवश्यक आहे).
3. 0x + 6y - 3 = 0	नाही. ❌	या समीकरणात x चा गुणक 0 असल्यामुळे केवळ y हे एकच चल उरते.
4. 0.3x + 0y - 36 = 0	नाही. ❌	या समीकरणात y चा गुणक 0 असल्यामुळे केवळ x हे एकच चल उरते.
5. 4xy - 5y - 8 = 0	नाही. ❌	चलयुक्त पहिल्या पदाची (xy) एकत्रित कोटी 2 होते.
6. 4/x + 5/y = 4	नाही. ❌	चल छेदामध्ये असल्यामुळे पदांची कोटी -1 होते. मात्र, याचे रूपांतर रेषीय समीकरणात करता येते.

एकसामायिक समीकरणे: निरसन पद्धत

एकसामायिक समीकरणे: निरसन पद्धत (Elimination Method)

दोन चलातील एकसामायिक समीकरणे निरसन पद्धतीने (Elimination Method) सोडवणे अतिशय सोपे आहे. या पद्धतीचा मुख्य उद्देश म्हणजे एका चलाचा (Variable) लोप (निरसन) करून दुसऱ्या चलाची किंमत काढणे हा असतो.

📋 निरसन पद्धतीने समीकरण सोडवण्याच्या पायऱ्या:

🔹 पायरी १: समीकरणे प्रमाण रूपात मांडणे

दिलेली समीकरणे प्रथम ax + by = c या स्वरूपात एकाखाली एक लिहून घ्या आणि त्यांना समीकरण (1) आणि समीकरण (2) असे क्रमांक द्या.

3x + y = 5 ---- (1)
2x - y = 5 ---- (2)

🔹 पायरी २: चलांचे सहगुणक (Coefficients) तपासणे

दोनों समीकरणांमधील x किंवा y यांपैकी कोणत्या चलाचे सहगुणक समान आहेत का ते पाहा.

💡 टीप: जर कोणत्याही चलाचे सहगुणक समान नसतील, तर योग्य त्या संख्येने समीकरणाला गुणून एका चलाचे सहगुणक समान करून घ्या.

🔹 पायरी ३: चलाचे निरसन (लोप) करणे

ज्या चलाचे सहगुणक तुम्ही समान केले आहेत, त्याच्या चिन्हांचे निरीक्षण करा आणि खालील कृती करा:

➔ भिन्न चिन्हे (+ आणि -) असल्यास: दोन्ही समीकरणांची बेरीज (Addition) करा.

➔ समान चिन्हे (+ आणि + किंवा - आणि -) असल्यास: एका समीकरणातून दुसरे समीकरण वजा (Subtraction) करा.

*(यामुळे एका चलाचा लोप होईल आणि तुम्हाला एका चलातील नवीन समीकरण मिळेल.)*

🔹 पायरी ४: पहिल्या चलाची किंमत काढणे

मिळालेले नवीन एक चलातील समीकरण सोडवून पहिल्या चलाची (उदा. x किंवा y) अचूक किंमत मिळवा.

🔹 पायरी ५: दुसऱ्या चलाची किंमत काढणे

पायरी ४ मध्ये मिळालेली किंमत मूळ समीकरण (1) किंवा (2) पैकी कोणत्याही एका सोप्या समीकरणात ठेवा (Substitute करा), ज्यामुळे तुम्हाला दुसऱ्या चलाची किंमत मिळेल.

🔹 पायरी ६: उकल (Solution) मांडणे

शेवटी, समीकरणाची अंतिम उकल (x, y) या स्वरूपात स्पष्टपणे लिहा.

✍️ प्रत्यक्ष उदाहरण (Example)

समीकरणे सोडवा :

2x + y = 5 आणि 3x - y = 5

पायरी १ व २ : समीकरणे लिहून घेतली. येथे y चा सहगुणक आधीच समान आहे आणि चिन्हे भिन्न आहेत.

2x + y = 5    ---- (1)

3x - y = 5    ---- (2)

पायरी ३ व ४ : बेरीज करू

(समीकरण (1) व (2) ची बेरीज केल्यास +y आणि -y लोप पावतील.)

(2x + 3x) = 5 + 5

5x = 10

x = 10 ÷ 5

x = 2

पायरी ५ : किंमत ठेवू

x = 2 ही किंमत समीकरण (1) मध्ये ठेवू.

2(2) + y = 5

4 + y = 5

y = 5 - 4

y = 1

पायरी ६ : अंतिम उत्तर

✅ दिलेल्या एकसामायिक समीकरणांची उकल: (x, y) = (2, 1)

एकसामायिक समीकरण सोडवणूक

🔍 एकसामायिक समीकरण सोडवणूक (निरसन पद्धत)

दिलेले एकसामायिक समीकरण आपण निरसन पद्धतीने (Elimination Method) अतिशय सोप्या पायऱ्यांमध्ये सोडवूया:

📌 दिलेली समीकरणे:

3a + 5b = 26 ---- (1)
a + 5b = 22 ---- (2)

🔷 पायरी १: चलाचे सहगुणक तपासणे व वजाबाकी करणे

येथे दोन्ही समीकरणांमध्ये 'b' या चलाचा सहगुणक समान 5 आहे आणि त्याचे चिन्ह देखील समान + आहे. त्यामुळे एका चलाचा लोप (निरसन) करण्यासाठी आपण समीकरण (1) मधून समीकरण (2) वजा करू: